La importancia de la pregunta que titula este artículo afecta directamente a las matemáticas, pero también determina cómo entendemos la realidad y, en definitiva, cómo entendemos nuestro propio pensamiento.
Las raíces de la polémica se remontan a la Grecia clásica, hace 2.500 años, donde el surgimiento de la filosofía griega fue gracias a las matemáticas. Desde entonces, resulta fascinante que ambos cargos hayan contado con intelectuales de primer nivel a lo largo de la historia.
El pitagórico Theano de Crotona, nacido en el 546 a.C., es considerado el primer filósofo y matemático de la antigüedad (antes de Hipatia). Es responsable de los primeros escritos sobre la proporción áurea, tratados de cosmología, física, medicina y psicología y fue la precursora de la investigación científica. Ilustración en color de Núñez y Rodríguez, 2011. El comienzo de todo: la escuela de Pitágoras
El primero en trazar el camino fue el matemático y filósofo griego Pitágoras de Samos (570-495 a. C.).
Además de acuñar el término filosofía, propuso una idea revolucionaria: todo está hecho de relaciones matemáticas: el cosmos, la armonía musical e incluso conceptos abstractos como el de justicia. Defendió que los números son puros, fijos y eternos. Y creía que eran una forma de acceder a un orden oculto de existencia (independiente del ser humano).
Siguiendo a Pitágoras, un círculo de unos 500 hombres y mujeres (es la escuela más antigua conocida en la que las mujeres tenían un papel intelectual activo) formó una comunidad secreta: la Escuela Pitagórica. Aristóteles, aunque difería de la visión de este grupo de creyentes, reconoció su labor en la Metafísica:
"Fueron los primeros en cultivar las matemáticas. No sólo las hicieron avanzar, sino que, nutridos de ellas, creyeron que sus principios eran los principios de todos los seres".
Para Pitágoras y su escuela, las matemáticas no eran importantes como herramienta, sino como ontología (como ser). No es que los números "sirvan" para describir el mundo; es que eran santos. Una idea que evolucionó con el platonismo matemático.
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Platón y la eterna realidad del número
El filósofo griego Platón –cuyo verdadero nombre era Aristócles (427-347 a.C.)– hereda el conocimiento pitagórico, aunque reestructura la ontología del número siguiendo su famosa teoría dualista: el mundo sensible y el mundo inteligible. Por ejemplo, en su diálogo más famoso, La República, presenta la geometría como aquello que "existe eternamente" (en el mundo inteligible).
En el Menon muestra cómo un joven esclavo "resuelve" un problema matemático gracias a la majestad socrática: generando conocimiento a partir de preguntas. Así, Platón rinde homenaje tanto a Pitágoras como a su mentor, Sócrates, al sugerir que las verdades matemáticas no se enseñan, sino que existen de forma innata en la mente humana y emergen a través de la reminiscencia.
En el Timeo (libro que lleva el nombre del pitagórico), el filósofo afirma que la materia tiene una estructura geométrica básica, formada por figuras regulares que luego serían conocidas como los sólidos de Platón. Sus propiedades hacen que estas formas sean únicas: sólo hay cinco.
Los sólidos platónicos (conocidos así porque fueron descritos por primera vez en el Timeo de Platón) se caracterizan por poliedros convexos formados por caras regulares congruentes, con el mismo número de caras reunidas en cada vértice y con máxima simetría. Con estas características es posible la existencia de sólo 5 poliedros. Para Platón, representaban los cuatro elementos (tetraedro = fuego; hexaedro = tierra; octaedro = aire; icosaedro = agua) y el universo (dodecaedro). Wikipedia, CC BI-NC-ND
Posteriormente se buscaron los sólidos platónicos en la naturaleza. Hoy sabemos que se encuentran, por ejemplo, en cristales, virus, organismos unicelulares, gases y cúmulos de galaxias.
Ejemplos de sólidos platónicos observados en la naturaleza. De izquierda a derecha: un tetraedro representado por una molécula de metano (CH₄), un cubo de pirita (FeS₂), un octaedro de fluorita (CaF₂), un dodecaedro representado por un fullereno C₂₀ (una forma molecular estable de carbono) y un icosaedro representado por un tipo de protaedro (organismo cireeucariota). Aunque no son las únicas estructuras en el mundo físico, su repetición en sistemas tan diversos revela principios comunes de simetría y estabilidad. Elaboración del autor. Euclides y Newton: dos puntos sobre la misma recta.
El erudito que describió con precisión los sólidos de Platón fue Euclides de Alejandría (siglos IV y III a.C.), y lo hizo en la obra matemática más influyente de todos los tiempos: Los Elementos. Con él nació la geometría euclidiana.
Con la secuencia de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... cada número nace sumando los dos anteriores) se puede construir la llamada 'espiral áurea' que se ve en la parte superior. La imagen de abajo es una concha de Nautilus real del Museo Nacional de Historia Natural (Smithsonian) en Washington. Su espiral no cumple con los criterios matemáticos para ser considerada una espiral dorada. A primera vista se puede observar que su origen está perfectamente alineado con el origen de la espiral superior y que las proporciones son diferentes. Bartlett, 2018.
Esta colección de 13 libros también contiene el mensaje de que la geometría proporciona un camino hacia verdades eternas. Para Euclides, los postulados (propuesto 5) y los axiomas de los que se derivan los teoremas no son inventados, sino que se supone que son universalmente verdaderos (aunque se cuestiona el postulado 5 relativo a las rectas paralelas).
Muchos siglos después, Isaac Newton (1643-1727) utilizó las matemáticas para establecer los fundamentos de la física y la astronomía modernas en su obra más famosa: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Newton demostró elegantemente en sus páginas que los movimientos del cosmos pueden predecirse mediante cálculos. También dijo que "el libro de la naturaleza está escrito en términos matemáticos". Un ejemplo de esto es la secuencia de Fibonacci: se encuentra en muchas flores, en la disposición de las hojas en el tallo de todos los grupos principales de plantas terrestres (filotaxis) y en el cuerpo humano. Hay quienes creen que la hélice dorada asociada a esta secuencia también está presente en la concha de los moluscos Nautilus, pero esto es un mito.
Las matemáticas están presentes en gran parte de las plantas, que optimizan la captación de luz y la distribución de recursos utilizando lo que conocemos como ángulo áureo (137,5°). Gracias a ello, desarrollan un crecimiento equilibrado y eficiente.
En definitiva, los objetos matemáticos se forjarán como idealizaciones adecuadas para acercarse al conocimiento de la naturaleza. Podríamos decir que Euclides y Newton, junto con Platón, forman el triángulo pitagórico perfecto en el que se "descubre" la matemática.
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Poincaré y Einstein viajan en línea recta
El giro conceptual llega a finales del siglo XIX y principios del XX. El erudito francés Henri Poincaré (1854-1912) defendió que determinadas geometrías se eligen no porque sean "verdaderas" en sentido absoluto, sino porque simplifican nuestra descripción del mundo.
Esta idea se volvió especialmente poderosa con el desarrollo de geometrías no euclidianas, que demostraron que el famoso quinto postulado de Euclides no era una necesidad lógica. El espacio se puede imaginar de varias maneras coherentes. La geometría, por tanto, ya no describe el espacio, sino los espacios posibles.
El matemático Henri Poincaré argumentó que los principios matemáticos fundamentales, especialmente los geométricos, no son verdades reveladas ni arbitrarias. En su Ciencia e Hipótesis afirmó: "Los axiomas geométricos no son juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones", tesis que cuestiona directamente la filosofía del conocimiento propuesta por Immanuel Kant. Esta posición afecta directamente al quinto postulado de Euclides, según el cual sólo se puede trazar un paralelo a través de un punto fuera de una línea recta. Al adoptar geometrías alternativas, este postulado ya no se cumple. Por ejemplo, en geometría elíptica, a través de un punto fuera de una línea recta, no se puede trazar un paralelo porque todas se cruzan en dos puntos. De manera similar, en geometrías no euclidianas, el teorema de Pitágoras ya no es válido en su formulación clásica. Wikipedia, CC BI-NC-SA
El físico alemán Albert Einstein (1879-1955) llevó este concepto al extremo. En la relatividad general, el espacio-tiempo deja de ser un escenario rígido y euclidiano para pasar a ser una entidad dinámica y curva, descrita por la geometría riemanniana (llamada así en honor al matemático alemán Bernhard Riemann). La gravedad ya no es una fuerza newtoniana, sino un efecto geométrico de esa curvatura. Paradójicamente, las matemáticas se desarrollaron sin una aplicación física directa y con el tiempo se convirtieron en el lenguaje más preciso para describir la estructura del universo.
Einstein señaló una tensión fundamental: las matemáticas son extremadamente poderosas, pero su relación con el mundo no es directa. No reflejan la realidad tal como es, sino la forma en que podemos formalizarla.
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Inventar para descubrir con Zeno
Descubrir e inventar son dos verbos que hacen referencia a concepciones ontológicas irreductibles. El descubrimiento supone que las entidades matemáticas existen independientemente del sujeto que las piensa. mientras que inventar hace que su existencia dependa del acto humano de conceptualizar, nombrar y formalizar.
La paradoja de la dicotomía de Zenón: para recorrer cualquier distancia, primero hay que recorrer la mitad, luego la mitad de lo que queda, y así hasta el infinito, sin llegar aparentemente al destino final. Wikipedia. Martín Grandjean, CC BI-SA 4.0
Volvamos por un momento a la Grecia clásica. La paradoja de la dicotomía de Zenón de Elea (siglo V a. C.) afirma que el movimiento parece imposible y esta dificultad conceptual ha persistido durante siglos. Pero la "invención" matemática de las series infinitas permitió demostrar que la suma de estos infinitos pasos se acerca a una distancia finita. Así, aunque esta herramienta fue una creación humana, a través de ella se "revela" la verdadera propiedad del movimiento, ilustrando así la relación entre invención y descubrimiento en matemáticas.
Por tanto, las matemáticas probablemente vivan en ese entorno. No inventamos la realidad, pero inventamos los lenguajes que utilizamos para interpretarla. Y las matemáticas, quizás, sean ese lenguaje refinado que nuestra mente ha creado para explorar regularidades y dotar de coherencia a lo que observamos.
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